线性代数讨论矩阵理论，与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换的一门学科。

本讲重点：

1.什么是线性代数？

2.为什么要学线性代数？

3.如何学好线

• 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。

左手栏：

• 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。

       复习：思考题。

左手栏：

• 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变。

左手栏：

• 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变。

左手栏：

1. 利用初等矩阵可以求逆矩阵；
2. 利用逆矩阵可以解矩阵方程。

左手栏：

复习：思考题

      矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛。

      定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。

      三种初等变换对应着三种初等方阵。

1.    对调两行或两列；
2. 以数k≠0乘某行或某列；
3. 以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去。

矩阵的初等列变换和初等行变换统称为初等变换。

矩阵的分块：对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

1、行列式概念；

二阶行列式;是指两行两列的数列

主对角线和副对角线，主线-副对角线

D为数表值（主对角线乘机-副对角元素乘机）

数表

二阶和三阶行列式

b1为常数

注意：思考题。

矩阵运算：

• 加法
• 数与矩阵相乘
• 矩阵与矩阵相乘
• 转置矩阵
• 方阵的行列式
• 对称阵与伴随矩阵
• 共轭矩阵

注意：

1. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
2. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。
3. 矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

左手栏：

1. 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
2. 矩阵相加与矩阵数乘合起来，统称为矩阵的线性运算。
3. 注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
4. 注意：矩阵的乘积一般不满足交换律，但有特殊情况。

1、线性代数

 a指量与量之间按比例、成直线的关系

只有乘数和加减

b 一元线性代数，

线性

代数 algebra

2、学的目的

数学、力学、物理、科技重要应用

计算机的是理论和基础

数学选了，智能

计算机课把线性但是算出来。

考研需要

2）研究对象

a线性方程组

b矩阵

c向量、向量组、空间

密切相关，具有等价的方法。

3、怎么学好

1）、相对容易

2）、抽象性，具体化

3）、概念多、定理多、符号多、运算规律多、

左手栏：

1、行列式的行与列的互换，为行列式的转置。

2、行列式的性质：

（1）性质1 行列式与它的转置行列式相等。

说明:行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。

（2）性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

（3）性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

（4）性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。

（5）性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。

（6）性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）

1、排列的逆序数：

       我们规定各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。

       在n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，则称这两个数组成一个逆序。

定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。

2、排列的奇偶性：

• 逆序数为奇数的排列称为奇排列；
• 逆序数为偶数的排列称为偶排列。

3、对换：

定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。

• 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。
• 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
• 推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。

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左手栏：

1、二阶行列式就是一个二行二列的数表；

2、二阶行列式的计算就是主对角线的元素乘积减去副对角线的元素乘积；

3、三阶行列式：

     定义：设:9个数排成3行3列的数表。

4、注意：

（1）三阶行列式包括3！（6）项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负；

（2）红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号

问题：

1、什么是线性代数？

2、为什么要学线性代数？

3、怎么做才能学好线性代数？