9 基与维数

矩阵之间的相似具有1、自反性；2、对称性；2、传递性

定理：属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量。

定理：属于不同特征值的特征向量是线性无关的

相似矩阵：矩阵之间的相似具有（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性

二次型与它的矩阵是一一对应的。

向量的长度具有下列性质：1、非负性；2、齐次性；3、三角不等式

正交向量组的性质：所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基。

定义：如果n阶矩阵A满足A的T次方*A=E（即A的－1次方=A的T次方那么称A为正交矩阵。

方阵A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向量都是单位向量，且两两正交

定义：若P为正交矩阵，则线性变换y=px称为正交变换。

正交变换的特性在于保持线段的长度不变。

定义：设S为方程组的全体解向量所组成的集合，则集合S对向量的线性运算封闭，所以集合S是一个

分量全为实数的向量称为实向量

分量全为复数的向量称为复向量

分量全为0的向量称为零向量

数乘向量：数k与向量a的T次方的乘积，称为向量的数量乘法简称数乘向量。

向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算。

向量组定义：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合

定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

定理：设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩

向量空间的定义：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间

初等变换与线性方程组的解

矩阵的秩：定义：在m*n矩阵A中，任取K行和K列，位于这些行列交叉处的K平方个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的K阶行列式称为矩阵A的k阶子式。

定义：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A)并规定零矩阵的秩等于0

定理：若A~B,则R（A)=R(B)

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解

元素是实数的矩阵叫做实矩阵

元素是复数的矩阵叫做复矩阵

同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。

零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O

主对角线上的元素都是1，其余元素都是零的n阶方阵，叫做n阶单位阵，简记作E.

对称矩阵：设A为n阶方阵，如果A的T次方=A，则称A为对称矩阵。

反对称矩阵：设A为n阶方阵，如果A的T次方=-A，则称A为反对称矩阵。

幂等矩阵：设A为n阶方阵，如果A平方=A，则称A为幂等矩阵。

对合矩阵：设A为n阶方阵，如果A的平方=E，则称A为对合矩阵

正交矩阵：设A为n阶方阵，如果A的T次方A=A，A的T次方=E，则称A为正交矩阵

对角矩阵：设A为n阶方阵，如果除了主对角线以外，其余元素全为零，则称A为对角矩阵。

上三角矩阵：主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵

下三角矩阵：主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵。

逆矩阵定义：设A为n阶方阵，如果存在矩阵B，使AB=BA=E则称矩阵A是可逆的（或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B称为A的逆矩阵。

逆序数：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数

          偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。

定理：如果上述线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零

定理：如果上述齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零

1、两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们所对应的实二次型具有相同的正惯性指数和秩。

定理7：可逆变换不改变二次型的正定性

定理9：实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于零。

2、正定二次型（正定矩阵）的判别方法：1、定义法；2、顺次主子式判别法；3、特征值判别法

用施密特正交法解决问题

线性相关的充要条件

克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则.为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解。

矩阵与行列式非常重要

定义：由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和（-1yapap…ag
|a1 a2…ain记作D=
a21 Q22…a2，an1 an2…anm
2rn|
简记作det（aij）.数aij称为行列式D的（i、j）元.

特征值

思考题解答（提醒））

n阶行列式
定义：由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和（-1yapap…ag
|a1 a2…ain记作D=
a21 Q22…a2，an1 an2…anm
2rn|
简记作det（aij）.数aij称为行列式D的（i、j）元.

线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量组。