定义  由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的

定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB＝BA＝E（符合交换律），则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。

当|A|＝0时，A称为奇异矩阵，当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵。由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵。

逆矩阵的定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB＝BA＝E。则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A逆矩阵。

定理1：矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义：当|A|＝0时，A称为奇异矩阵，当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵。

线性代数主要研究

线性代数

转置矩阵定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A的t次方。

方阵行列式的定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式。

矩阵运算：加法、数与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘、转置矩阵、方阵的行列式、对称阵与伴随矩阵、共轭矩阵

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

1.转置矩阵的定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵记作A的T次方。

2.方阵的行列式：定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式。

3.对称阵与伴随矩阵的定义：设A为n阶方阵，如果满足A＝A的T次方，那么A称为对称阵。（如果A的T次方＝-A则矩阵A称为反对称的，

（一）线性（I inear)

线性（linear),指量与量之间按比例、成直线的关系只有数乘和加减。

一元线性函数在平面直角坐标中的关系猫叔为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。

y=ax+b         y=ax

线性代数讨论矩阵理论，与矩阵结合的有限维向量空间极其线性变换的一门学科。

（二）代数

代数学的英文名称是algebra,是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了x的本来面目，所以方程时和代数紧密联系的。

 “代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。

历史上《线性代数》的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。

  另外，近代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了《线性代数》的进一步发展。

二、为什么要学线性代数：

1线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占据首要地位：

2在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；

3该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练、增加科学职能是非常有用的；

4随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题由可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具-。

5考研的需要

数学一：高等数学、线性代数和概念与统计

数学二：高等数学和线性代数

（一）线性方程组

求解线性方程组是数学问题中最重要的问题，超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及线性方程组的求解。

线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。没什么在值得研究学习的，是这样的吗？

 （二）矩阵

矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着越来越重要的作用。

用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；

数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度图像就对应着一个矩阵；

著名的搜索引擎Goog le 则应用了矩阵的特征值和特征向量理论；

矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分析及自动控制理论中不可缺少的工具。

（三）向量、向量组、向量空间

对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。

进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰的认识。

三、怎么做才能学好线性代数：

1、线性代数是大学几门数学课里相对来说最容易的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无多大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑线上的，要对自己有信心。

2、抽象性是线性代数的最大特点。所谓的抽象，主要指的是我们研究的全是代数，不是具体的数。因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。

3、概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互从横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的主要特点，应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法、并及时进行总结抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。

具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：

（1）课前预习，认真听见，课后复习，亲自练习；

（2)注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算；

（3）知识要成网

线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量组。

  这三种对象的理论是密切相关的，大部门问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟悉地从一种理论的叙述转移到另一种上去，是学习线性代数时养成的一种重要习惯和素质。

代数余子式的性质

行列数等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

证明范德蒙德行列式。

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的代数之和等于零。

余子式与代数余子式

矩阵的加减和数乘，称为矩阵的线性运算。

1.只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

例：A+B＝B+A

2.数与矩阵相乘的定义：数X与矩阵A的乘积计作XA或AX。

3.矩阵相加与矩阵数乘合起来统称为矩阵的线性运算。

4.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

5.矩阵不满足交换律。

线性方程组：方程组个数与未知数相等。

元素是实数的矩阵称为实矩阵。

元素是复数的矩阵称为复矩阵。

特殊矩阵：（1）行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵。

只有一列的矩阵称为列矩阵。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。不同阶数的零矩阵是不相等的

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。

矩阵相等，它所包含的数值也一一对应相等。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）

元素全为零的矩阵称为零矩阵（不同阶数的零矩阵是不想等的）

方阵称为单位矩阵（或单位阵）

同型矩阵与矩阵相等的概念：1.两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。

矩阵的概念：m行n列的一个数表

特殊矩阵（方阵、行矩阵与列矩阵、单位矩阵、对角矩阵、零矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）

元素全为零的矩阵称为零矩阵（不同阶数的零矩阵是不想等的）

方阵称为单位矩阵（或单位阵）

同型矩阵与矩阵相等的概念：1.两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。

矩阵的概念：m行n列的一个数表

特殊矩阵（方阵、行矩阵与列矩阵、单位矩阵、对角矩阵、零矩阵）

矩阵相加与距阵数乘合起来

初等变换与初等矩阵

矩阵得初等变换与线性方程组